Question

已知數列{a_n}滿足a₁＋a₂＋…＋a_n＝n²(n∈N^*)．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)對任意給定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*(k<p<r)使，，成等差數列？若存在，用k分別表示p和r(只要寫出一組)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1(n∈N^*)．（2）當k＝1時，不存在p，r；當k≥2時，存在p＝2k－1，r＝4k²－5k＋2滿足題設．

(1)當n＝1時，a₁＝1；當n≥2，n∈N^*時，a₁＋a₂＋…＋a_n－1＝(n－1)²，所以a_n＝n²－(n－1)²＝2n－1；綜上所述，a_n＝2n－1(n∈N^*)．
(2)當k＝1時，若存在p，r使，，成等差數列，則＝－＝.因為p≥2，所以a_r<0與數列{a_n}為正數相矛盾，因此，當k＝1時不存在；
當k≥2時，設a_k＝x，a_p＝y，a_r＝z，則，所以z＝.令y＝2x－1，得z＝xy＝x(2x－1)，此時a_k＝x＝2k－1，a_p＝y＝2x－1＝2(2k－1)－1，所以p＝2k－1，a_r＝z＝(2k－1)(4k－3)＝2(4k²－5k＋2)－1，所以r＝4k²－5k＋2.
綜上所述，當k＝1時，不存在p，r；當k≥2時，存在p＝2k－1，r＝4k²－5k＋2滿足題設．