Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充要條件是．

Answer 1

證明見解析

試題分析：要解決這個(gè)問題,首先要分清楚必要性和充分性.
由數(shù)列的前項(xiàng)和為，，,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 ．
說明:“數(shù)列是公比為的等比數(shù)列”的必要條件是：“”
由“數(shù)列的前項(xiàng)和”“數(shù)列是等比數(shù)列”
說明“數(shù)列是公比為的等比數(shù)列”的充分條件是：“”
前者其實(shí)就是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)過程的一部分；后者由求出的表達(dá)式 ，再緊扣等比數(shù)列的定義得出結(jié)論.
試題解析：證明：(1)必要性：
∵數(shù)列是公比為的等比數(shù)列
∴
      ①          2分
①式兩邊同乘，得
     ②           4分
①-②，得
                               6分
∵
∴                                  7分
(2)充分性：
由，得           8分
∴
即                               10分
∵也適合上式
∴                                       12分
∵
∴當(dāng)時(shí)，
∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列                    14分 與的關(guān)系.