Question

【題目】某醫藥研究所開發一種新藥，在試驗藥效時發現：如果成人按規定劑量服用，那么服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間x(小時)之間滿足y＝其對應曲線(如圖所示)過點.

(1)試求藥量峰值(y的最大值)與達峰時間(y取最大值時對應的x值)；

(2)如果每毫升血液中含藥量不少于1微克時治療疾病有效，那么成人按規定劑量服用該藥后一次能維持多長的有效時間(精確到0.01小時)?

Answer 1

【答案】（1）y取最大值時，對應的x值為1.（2）3.85小時

【解析】(1)由曲線過點，可得，故a＝8.

當0<x<1時，y＝＝4，

當x≥1時，設2x－1＝t，可知t≥1，

y＝≤＝4(當且僅當t＝1，即x＝1時，等號成立)．

綜上可知ymax＝4，且當y取最大值時，對應的x值為1.

所以藥量峰值為4微克，達峰時間為1小時．

(2)當0<x<1時，由＝1，可得x2－8x＋1＝0，

解得x＝4±，又4＋>1，故x＝4－.

當x≥1時，設2x－1＝t，則t≥1，＝1，可得＝1，解得t＝4±，

又t≥1，故t＝4＋，所以2x－1＝4＋，可得x＝log2(4＋)＋1.

由圖像知當y≥1時，對應的x的取值范圍是[4－，log2(4＋)＋1]，

log2(4＋)＋1－(4－)≈3.85，

所以成人按規定劑量服用該藥后一次能維持大約3.85小時的有效時間．