Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓：及其上一點.

（1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程；

（2）設平行于的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；

（3）設點滿足：存在圓上的兩點和，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）．

【解析】試題分析：（1）根據直線與軸相切確定圓心位置，再根據兩圓外切建立等量關系求半徑;（2）根據垂徑定理確定等量關系，求直線方程；（3）利用向量加法幾何意義建立等量關系，根據圓中弦長范圍建立不等式，求解即得參數取值范圍.

試題解析：圓的標準方程為，所以圓心，半徑為5.

（1）由圓心在直線上，可設，

因為與軸相切，與圓外切，所以，

于是圓的半徑為，從而，解得，

因此，圓的標準方程為.

（2）因為直線，所以直線的斜率為.

設直線的方程為，即，則圓心到直線的距離

因為而

所以，解得或.

故直線的方程為或.

（3）設.

因為，所以……①

因為點在圓上，所以，將①代入②，得.

于是點既在圓上，又在圓上，從而圓與圓有公共點，所以，解得.因此，實數的取值范圍是.