Question

【題目】某廠生產某種產品x（百臺），總成本為C（x）（萬元），其中固定成本為2萬元，每生產1百臺，成本增加1萬元，銷售收入 （萬元），假定該產品產銷平衡．
（1）若要該廠不虧本，產量x應控制在什么范圍內？
（2）該廠年產多少臺時，可使利潤最大？
（3）求該廠利潤最大時產品的售價．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，成本函數為C（x）=2+x，

從而利潤函數

要使不虧本，只要L（x）≥0，

當0≤x≤4時，L（x）≥03x﹣0.5x2﹣2.5≥01≤x≤4，

當x＞4時，L（x）≥05.5﹣x≥04＜x≤5.5．

綜上，1≤x≤5.5．

答：若要該廠不虧本，產量x應控制在100臺到550臺之間

（2）解：當0≤x≤4時，L（x）=﹣0.5（x﹣3）2+2，

故當x=3時，L（x）max=2（萬元），

當x＞4時，L（x）＜1.5＜2．

綜上，當年產300臺時，可使利潤最大

（3）解：由（2）知x=3，時，利潤最大，此時的售價為 （萬元/百臺）=233元/臺
【解析】由題意寫出成本函數，則收入函數減去成本函數即可得到利潤函數．（1）由利潤函數大于等于0，分段求解x的取值范圍，取并集得答案；（2）分段求解利潤函數的最大值，取各段最大值中的最大者；（3）（2）中求出了利潤最大時的x的值，把求得的x值代入 得答案．