Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）設函數．若對于任意，都有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）當時，函數的增區間為， ，減區間為；

當時，函數的增區間為， ，減區間為；

當時，函數的增區間為，無減區間；（3）.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出，可得切線斜率，根據點斜式可得切線方程；（Ⅱ）討論三種情況，分別令得增區間， 得減區間； （Ⅲ）對于任意，都有成立等價于恒成立，利用導數研究函數的單調性，求出其最大值，進而可得結果.

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為.

當時， ， ，

,．

所以曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）因為．

令，即，解得或.

（1）當，即時，

由，得或；

由，得.

所以函數的增區間為， ，減區間為.

（2）當，即時，

由，得或；

由，得.

所以函數的增區間為， ，減區間為.

（3）當，即時， 在上恒成立，

所以函數的增區間為，無減區間.

綜上所述：

當時，函數的增區間為， ，減區間為；

當時，函數的增區間為， ，減區間為；

當時，函數的增區間為，無減區間.

（Ⅲ）因為對于任意，都有成立，

則，等價于.

令，則當時， .

.

因為當時， ，所以在上單調遞增.

所以.

所以.

所以.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數研究函數的單調性、不等式恒成立問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.