Question

【題目】已知點，點A是直線上的動點，過作直線，，線段的垂直平分線與交于點.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）若點，是直線上兩個不同的點，且的內切圓方程為，直線的斜率為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意得到：點到點的距離等于它到直線的距離，所以點的軌跡是以點F為焦點，直線為準線的拋物線，再利用拋物線的定義即可得到曲線的方程.

（2）首先設，點，點，求出直線的方程，根據圓心到直線的距離為，得到，同理得到，即是關于的方程的兩根，再根據韋達定理得到，再求的范圍即可.

（1）因為點，點是直線上的動點，

過作直線，，線段的垂直平分線與交于點，

所以點到點的距離等于它到直線的距離，

所以點的軌跡是以點F為焦點，直線為準線的拋物線，

所以曲線的方程為.

（2）設，點，點，

直線的方程為：，

化簡得，

因為的內切圓的方程為，

所以圓心到直線的距離為，即，

整理得：，

由題意得，所以上式化簡得，

同理，有.

所以是關于的方程的兩根，

，.

所以，

因為，，

所以，

直線的斜率，則，

所以，

因為函數在單調遞增，

所以，，

所以0.

即的取值范圍是.