Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD= ，DC=2AB=2，E為BC中點．

（1）求證：平面PBC⊥平面PDE
（2）線段PC上是否存在一點F，使PA∥平面BDF？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD

在RT△DAB中，BD= =

知△DBC是等腰三角形．

又∵E為BC的中點．

∴DE⊥BC

∵PD⊥平面ABCD，且BC平面ABCD

∴PD⊥BC

∵PD∩DE=D

∴BC⊥平面PDE

又∵BC平面PBC

∴平面PBC⊥平面PDE

（2）解：線段PC上存在一點F，且 時，有PA∥平面BDF

證明如下：

連接AC交BD于點O，在平面PAC中過點O作OF∥PA，則交PC于F

又∵OF平面BDF，PA平面BDF

∴PA∥平面BDF

∵四邊形ABCD中AB∥CD，

∴易知△ABO∽△CDO

又∵CD=2AB=2，

∴

∵OF∥PA

∴

∴當 時，PA∥平面BDF

【解析】（1）要證平面PBC⊥平面PDE，只要證平面PBC內的直線BC⊥平面PDE即可．（2）由線面平行的性質定理，若使PA∥平面BDF，則過直線PA的平面和平面BDF的交線會和PA平行，故作輔助線OF∥AP，再利用線面平行判定定理證明．確定F的位置，則利用三角形相似的相似比確定 的值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．