Question

已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為，直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上， = +，求橢圓的方程.

Answer 1

+y²=1

由e=得a²=4b²,橢圓可化為:
x²+4y²=4b².
將y=x+1代入上式，消去y并整理得：
x²+2x+2-2b²="0.                                                " ①
∵直線y=x+1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
∴Δ=4-4（2-2b²）＞0,∴b＞.
設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),M(x,y),則由
= +,
得.
∵M(jìn)在橢圓上，∴（x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²=4b²,
∴x₁x₂+4y₁y₂=0.
∴x₁x₂+·4=0，
即x₁x₂+(x₁+x₂)+2="0                            " ②
又由①知x₁+x₂=-2,x₁·x₂=2-2b²,
代入②中得b²=1,滿足b＞.
∴橢圓方程為+y²=1.