Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，點是點關于軸的對稱點，過點的直線交拋物線于兩點。
（Ⅰ）試問在軸上是否存在不同于點的一點，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點的坐標，若不存在說明理由。
（Ⅱ）若的面積為，求向量的夾角；

Answer 1

（Ⅰ）存在T（1,0）；（Ⅱ）向量的夾角．

試題分析：（Ⅰ）試問在軸上是否存在不同于點的一點，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點的坐標，若不存在說明理由，這是一個探索性命題，解這一類問題，一般都假設其存在，若能求出的坐標，就存在這樣的點，若不能求出的坐標，就不存在這樣的點，本題假設存在滿足題意，與軸所在的直線所成的銳角相等，則它們的斜率互為相反數，結合直線與拋物線的位置關系，采用設而不求的方法即可解決；（Ⅱ）求向量的夾角，可根據夾角公式，分別求出，與即可．
試題解析：（Ⅰ）由題意知：拋物線方程為：且 
設  直線代入得
，
假設存在滿足題意，則
    

 存在T（1,0）
（Ⅱ），

（13分）