Question

已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.
①證明直線與軸交點的位置與無關；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

Answer 1

(1)①交點為；②；(2) .

試題分析：(1)①本題方法很容易想到，主要考查計算推理能力，寫出直線的方程，然后把直線方程與橢圓方程聯立，求得點坐標，同理求得點坐標，從而得到直線的方程，令，求出，與無關；②兩個三角形∆與∆有一對對頂角和，故面積用公式，表示，那么面積比就為，即，這個比例式可以轉化為點的橫坐標之間(或縱坐標)的關系式，從而求出；(2)仍采取基本方法，設的方程為，則的方程為，直線與圓相交于，弦的長可用直角三角形法求，(弦心距，半徑，半個弦長構成一個直角三角形)，的高為是直線與橢圓相交的弦長，用公式來求，再借助于基本不等式求出最大值及相應的值，也即得出的方程.
試題解析：（1）①因為,M (m,)，且，
直線AM的斜率為k₁=,直線BM斜率為k₂=,
直線AM的方程為y= ,直線BM的方程為y=,
由得，

由得，
；
據已知，，
直線EF的斜率
直線EF的方程為 ,
令x=0,得 EF與y軸交點的位置與m無關.
②,,,
,，,
 ，
整理方程得，即，
又有，，，為所求.
(2) 因為直線,且都過點,所以設直線,
直線,
所以圓心到直線的距離為,
所以直線被圓所截的弦；
由,所以
 所以
所以
當時等號成立,
此時直線