Question

如圖示：已知拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點，經過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點.

（1）當點在第二象限，且到準線距離為時，求；
（2）證明：.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先利用拋物線的定義求出點的坐標，然后利用直線過點和點求出直線的方程，然后將直線和拋物線的方程聯立，利用韋達定理與拋物線的定義求出弦的長；（2）先求出曲線在點和點的切線方程，并求出兩切線的交點的坐標，驗證進而得到.
試題解析：（1）拋物線的方程為，則其焦點坐標為，
設點，，則有，
由于點在第二象限，則，將代入得，，解得，
故點的坐標為，故直線的方程為，變形得，
代入拋物線的方程并化簡得，由韋達定理得，
；
（2）設直線的方程為，將代入拋物線的方程并化簡得，
對任意恒成立，
由韋達定理得，，
將拋物線的方程化為函數解析式得，，則，
故曲線在點處的切線方程為，即，即①，
同理可知，曲線在點處的切線方程為②，
聯立①②得，，故點的坐標為，，
而，
，.