Question

已知橢圓的右焦點為，點在圓上任意一點（點第一象限內），過點作圓的切線交橢圓于兩點、．
（1）證明：；
（2）若橢圓離心率為，求線段長度的最大值．

Answer 1

（1）略（2）2

(1) 設，先利用焦半徑公式表示,然后再想法求出|PQ|，也用x₁表示出來.相加即可.
(2)根據離心率可求出a值，進而橢圓方程確定，然后設直線的方程為,由直線QR與圓O相切，進而得到,
然后直線與橢圓方程聯立，消y之后，表示出,
則,，,因而確定當且僅當時，取最大值2.
（1）設，得，…………………3分
由是圓的切線，，
注意到，，……………6分
所以．                           ……………7分
（2）由題意，，．     …………………………9分
方法一：設直線的方程為，點在第一象限，．
由直線與圓相切，．  …………………………11分
由，消得，
設，則．
由（1）知，，…14分
，．
當且僅當時，取最大值2，此時直線的方程為，過焦點．
方法二：設，則直線的方程為． ……11分
由，消得，
則，，，
由（1）知，，……14分
，，
當且僅當時，取最大值2，此時，直線過焦點． 
方法三：由（1）同理可求，則，………11分
，
當且僅當直線過焦點時等號成立，從而．