Question

．（本題滿(mǎn)分14分）
已知圓M：定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿(mǎn)足。
(Ⅰ) 求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
(Ⅱ) 過(guò)點(diǎn)（2,0）作直線l，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即｜OS｜＝｜AB｜）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1） ; （2）存在直線使得四邊形OASB的對(duì)角線相等.   

本試題主要是考查了圓錐曲線的軌跡方程的求解，借助于向量的工具，來(lái)表示，同時(shí)能運(yùn)用聯(lián)立方程組的思想表示出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)系式，結(jié)合向量得到直線方程。
（1）根據(jù)局題中的向量的關(guān)系式，運(yùn)用坐標(biāo)法表示得到軌跡方程
（2）設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，然后結(jié)合題中的圖形的特點(diǎn)和向量的關(guān)系式，得到直線關(guān)系式，確定直線的存在與否。
解：（1）Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN
GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|---------------------------------（3分）
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，∴短半軸長(zhǎng)b=2，∴點(diǎn)G的軌跡方程是 ---------（6分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823221803161683.png" style="vertical-align:middle;" />，所以四邊形OASB為平行四邊形，若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形……………（7分）
若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由
矛盾，……………（8分）
故l的斜率存在，設(shè)l的方程為
……………………（10分）
  ①………………………（11分）

  ② ………… ……………（12分）
把①、②代入∴存在直線使得四邊形OASB的對(duì)角線相等. ……… …………………… ……………（14分）