Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，遞減區(qū)間是(1,3)．

(2) 存在實(shí)數(shù)使f(x)的最小值為0.

【解析】分析：（1）根據(jù)f（1）=1代入函數(shù)表達(dá)式，解出a=﹣1，再代入原函數(shù)得f（x）=log4（﹣x2+2x+3），求出函數(shù)的定義域后，討論真數(shù)對應(yīng)的二次函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的單調(diào)性，即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為0，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得真數(shù)t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真數(shù)t的最小值恰好是1，再結(jié)合二次函數(shù)t=ax2+2x+3的性質(zhì)，可列出式子：，由此解出a=，從而得到存在a的值，使f（x）的最小值為0．

詳解：（1）∵f（x）=log4（ax2+2x+3）且f（1）=1，

∴l(xiāng)og4（a12+2×1+3）=1a+5=4a=﹣1

可得函數(shù)f（x）=log4（﹣x2+2x+3）

∵真數(shù)為﹣x2+2x+3＞0﹣1＜x＜3

∴函數(shù)定義域?yàn)椋ī?，3）

令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

可得：當(dāng)x∈（﹣1，1）時(shí)，t為關(guān)于x的增函數(shù)；

當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，t為關(guān)于x的減函數(shù)．

∵底數(shù)為4＞1

∴函數(shù)f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，3）

（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為0，

由于底數(shù)為4＞1，可得真數(shù)t=ax2+2x+3≥1恒成立，

且真數(shù)t的最小值恰好是1，

即a為正數(shù)，且當(dāng)x=﹣=﹣時(shí)，t值為1．

∴a=

因此存在實(shí)數(shù)a=，使f（x）的最小值為0．