Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2 ，PA=2，求：

（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥底面ABCD，CD底面ABCD，

∴CD⊥PA．

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交線．

∴CD⊥平面PDA，

∵PD平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D為直角頂點的直角三角形．

∵Rt△PAD中，AD=2 ，PA=2，

∴PD= =2 ．

∴三角形PCD的面積S= ×PD×DC=2 ．

（2）解：[解法一]

如圖所示，建立空間直角坐標系，可得B（2，0，0），C（2，2 ，0），E（1， ，1）．

∴ =（1， ，1）， =（0，2 ，0），

設 與 夾角為θ，則cosθ= = = ，

∴θ= ，由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為 ．

[解法二]

取PB的中點F，連接AF、EF、AC，

∵△PBC中，E、F分別是PC、PB的中點，

∴EF∥BC，∠AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角．

∵Rt△PAC中，PC= =4．

∴AE= PC=2，

∵在△AEF中，EF= BC= ，AF= PB=

∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F為直角頂點的等腰直角三角形，

∴∠AEF= ，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為 ．

【解析】（1）可以利用線面垂直的判定與性質，證明出三角形PCD是以D為直角頂點的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2 ，最后得到三角形PCD的面積S；（2）[解法一]建立如圖空間直角坐標系，可得B、C、E各點的坐標，從而 =（1， ，1）， =（0，2 ，0），利用空間向量數量積的公式，得到 與 夾角θ滿足：cosθ= ，由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為 ；[解法二]取PB的中點F，連接AF、EF，△PBC中，利用中位線定理，得到EF∥BC，從而∠AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角，然后可以通過計算證明出：△AEF是以F為直角頂點的等腰直角三角形，所以∠AEF= ，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為 ．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．