Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）求f（x）+f（1﹣x）的值；
（2）若數列{an}滿足an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1）（n∈N*），求數列{an}的通項公式；
（3）若數列{bn}滿足bn=2nan ， Sn是數列{bn}的前n項和，是否存在正實數k，使不等式knSn＞3bn對于一切的n∈N*恒成立？若存在，請求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，

∴ =

（2）解 ①

∴ ②

由（1），知f（x）+f（1﹣x）=1，

∴①+②，得2an=（n+1），

∴

（3）解：因為 ，

∴ ①

2Sn=221+322+423+…+n2n﹣1+（n+1）2n，②

①﹣②得，

即 ，

要使得不等式knSn＞3bn恒成立，

即2kn2＞3（n+1）對于一切的n∈N*恒成立，

即 對一切的n∈N*恒成立，

令 ，

因為 在n∈N*是單調遞增的，

∴ 的最小值為2+ = ，

∴ ，

∴k＞3

【解析】（1）由函數f（x）= ，代入化簡，可得f（x）+f（1﹣x）=1，（2）根據（1）中結論，利用倒序相加法，可得 ；（3）根據（2）中結論，利用錯位相減法，可得Sn的表達式，進而再由孤立參數法，可得k的取值范圍；
【考點精析】本題主要考查了函數的值和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．