Question

【題目】如圖，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），點M（x0 ， y0）在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B（M為原點O時，A，B重合于O），當x0=1﹣ 時，切線MA的斜率為﹣ ．

（1）求P的值；
（2）當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A，B重合于O時，中點為O）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為拋物線C1：x2=4y上任意一點（x，y）的切線斜率為y′= ，且切線MA的斜率為﹣ ，

所以設A點坐標為（x，y），得 ，解得x=﹣1，y= = ，點A的坐標為（﹣1， ），

故切線MA的方程為y=﹣ （x+1）+

因為點M（1﹣ ，y0）在切線MA及拋物線C2上，于是

y0=﹣ （2﹣ ）+ =﹣ ①

∴y0=﹣ =﹣ ②

解得p=2

（2）解：設N（x，y），A（x1， ），B（x2， ），x1≠x2，由N為線段AB中點知x= ③，y= = ④

切線MA，MB的方程為y= （x﹣x1）+ ，⑤；y= （x﹣x2）+ ⑥，

由⑤⑥得MA，MB的交點M（x0，y0）的坐標滿足x0= ，y0=

因為點M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣ ⑦

由③④⑦得x2= y，x≠0

當x1=x2時，A，B丙點重合于原點O，A，B中點N為O，坐標滿足x2= y

因此中點N的軌跡方程為x2= y

【解析】（1）利用導數的幾何意義，先表示出切線方程，再由M在拋物線上及在直線上兩個前提下，得到相應的方程，解出p值．（2）由題意，可先設出A，B兩個端點的坐標及中點的坐標，再由中點坐標公式建立方程，直接求解出中點N的軌跡方程