Question

【題目】已知函數（其中是自然對數的底數），．

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）設，若滿足且，試判斷方程的實數根個數,并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），但無極小值；（Ⅱ）有2個實數根，利用見解析.

【解析】

（I）利用的導函數研究的單調性，由此求得的極值.

（II）求得的表達式，求得其導函數，由此求得的單調區間、極小值（最小值），結合零點存在性定理，判斷出有兩個實數根.

（Ⅰ）因為，所以．

當時，，此時單調遞增；

當時，，此時單調遞減．

所以，但無極小值．

（Ⅱ）因為，所以

因為，所以，于是．

令，得或．

當時，，此時單調遞增；

當時，，此時單調遞減；

當時，，此時單調遞增．

所以．

因為，所以，．

又函數在上連續，故有一個零點為0，且在上也有一個零點．

綜上，方程的有2個實數根．