Question

下列說法：
①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”
②函數y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）的最小正周期是π；
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是真命題；
④f（x）是（-∞，0）∪（0+∞）上的奇函數x＞0的解析式是f（x）=2^x，則x＜0的解析式為f（x）=-2^-x；
其中正確的說法個數為（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”，由特稱命題否定書寫格式進行判斷；
②函數y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）的最小正周期是π，由三角恒等變換公式化簡后判斷；
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是真命題，判斷原命題的真假，由真值表判斷；
④f（x）是（-∞，0）∪（0+∞）上的奇函數x＞0的解析式是f（x）=2^x，則x＜0的解析式為f（x）=-2^-x；由奇函數的性質求出解析式，對照多年命題真假．

解答：解：①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”，特稱命題的否定是全稱命題，由書寫規則知此命題是正確命題；
②函數y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）的最小正周期是π，由于y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）=sin（2x+

π

3

）cos（2x+

π

3

）=

1

2

sin（4x+

2π

3

），由公式求得其周期是

π

2

，故此命題不正確；
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是真命題，由于f′（x₀）=0時，數f（x）在x=x₀處不一定有極值，故此命題不正確；
④f（x）是（-∞，0）∪（0+∞）上的奇函數x＞0的解析式是f（x）=2^x，則x＜0的解析式為f（x）=-2^-x，當x＜0，-x＞0，可得-f（x）=-f（-x）=-2^-x，故此命題正確．
綜上得，①④是正確命題，
故選B

點評：本題考查命題的否定，解題的關鍵是熟練掌握命題的否定的書寫格式以及特殊命題--全稱命題與特稱命題的書寫格式，命題的學習中，區別命題的否定與否命題是一個疑點，應緊扣定義認真理解，正確區分．