Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中，其中真命題的序號有（　�。�
①設A、B為兩個定點，k為正常數，|PA|+|PB|=k，則動點P的軌跡為橢圓；
②雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④平面上到定點P及定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線．

A．①②③④

B．①②③

C．②③

D．②③④

Answer 1

分析：根據橢圓的定義可判定①；焦點在x軸上，焦點坐標為（±

34

，0）可判定②；求出二次方程的根，據橢圓、雙曲線離心率的范圍判定③．分類討論，根據點F不在直線l上、點F在直線l上，即可判定④．

解答：解：根據橢圓的定義，當k＞|AB|時是橢圓，∴①不正確；
雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點，焦點在x軸上，焦點坐標為（±

34

，0），∴②正確
方程2x²-5x+2=0的兩根為

1

2

或2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，∴③正確
當點F不在直線l上時，點M的軌跡是以F為焦點、l為準線的拋物線；而當點F在直線l上時，點M的軌跡是一條過點F，且與l垂直的直線，∴④不正確
故正確的是②③
故選C．

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，同時考查了橢圓、雙曲線與拋物線的性質，考查的知識點較多，屬于中檔題．