Question

【題目】設f(x)是定義在區間(－∞，＋∞)上且以2為周期的函數，對k∈Z，用Ik表示區間(2k－1,2k＋1)，已知當x∈I0時，f(x)＝x2.求f(x)在Ik上的解析式．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：先根據周期將所求區間Ik轉化到已知區間I0,再代入解析式中即得Ik上的解析式．

試題解析：設x∈(2k－1,2k＋1)k∈Z，∴2k－1<x<2k＋1,即－1<x－2k<1，

∵x∈I0時，有f(x)＝x2，∴由－1<x－2k<1得f(x－2k)＝(x－2k)2 ，

∵f(x)是以2為周期的函數，∴f(x－2k)＝f(x)，

∴f(x)＝(x－2k)2，k∈Z.

點睛:函數周期性的判定與應用(1)判定：判斷函數的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)應用：根據函數的周期性，可以由函數的局部性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期．