Question

【題目】等腰直角三角形中，，點在邊上，垂直交于，如圖①.將沿折起，使到達的位置，且使平面平面，連接，，如圖②.

（Ⅰ）若為的中點，，求證：；

（Ⅱ）若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先證平面得，由為的中點，，得，進而證明平面即可證明；（Ⅱ）證明三棱錐的體積最大時DB=2, 以，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系,分別求面和面PEB的法向量，由空間向量二面角公式求解即可

（I） ，，∩=D

平面，

又在圖①中，，

，

平面，而平面，

，

，是的中點，

平面，而平面，

.

（Ⅱ）設，由，三棱錐的體積，

得三棱錐的體積最大時，.

，

以，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系

則，，，.

設面的法向量為

則

令則，，則

設面的法向量為

則

令則，，則

所以二面角的余弦值為.