Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的極小值；

（2）設函數，求函數的單調區間；

（3）若在區間上存在一點，使得成立，求的取值范圍，（ ）

Answer 1

【答案】（1）當時，函數取得極小值1；（2）當時， 的遞減區間為；遞增區間為，當時， 只有遞增區間為；（3）.

【解析】試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調區間、利用導數求函數的極值和最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，當時，先得到解析式，在定義域范圍內，解不等式， 得到函數的單調區間，從而得到函數的極值；第二問，先求出表達式，對求導，需討論的根與0的大小，分情況討論；第三問，將在（）上存在一點，使得成立轉化為，構造函數，結合第二問的結論，討論求的最小值.

試題解析：（1）的定義域為． 1分

當時， ， ． 2分

由，解得.

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增；

所以當時，函數取得極小值，極小值為； 4分

（2），其定義域為．

又． 5分

①當，即時，在上，所以，函數在上單調遞增. 6分

②當，即時，在上，在上，

所以在上單調遞減，在上單調遞增； 7分

綜上所述：當時， 的遞減區間為；遞增區間為．

當時， 只有遞增區間為． 8分

（3）若在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得．

則函數在上的最小值小于零． 9分

①當，即時，由（2）可知在上單調遞減．

故在上的最小值為，由，可得．

因為．所以； 10分

②當，即時，由（2）可知在上單調遞增．

故在上最小值為，由，

可得（滿足）； 11分

③當，即時，由（2）可知可得在上最小值為

．

因為，所以， ．

，即不滿足題意，舍去． 13分

綜上所述得，或．

實數的取值范圍為． 14分