【題目】已知函數
，其中
.
（1）證明：
；
（2）若
，證明
；
（3）用
表示
和
中的較大值，設函數
，討論函數
在
上的零點的個數.
【答案】（1）見解析，（2）見解析，（3）見解析
【解析】
（1）首先設函數
，再求
的單調性，根據單調性即可證明
，即證
.（2）由（1）知
，再根據二次函數的性質即可證明
.（3）首先對
和
的范圍進行分類討論得出
和
在
的單調性和最值，再判斷和的零點個數，從而得到
的零點個數.
（1）設函數，則
.
令
得
，則在
上，
，為增函數，
在
上，
，為減函數.
所以，即，即證.
（2）當
時，由（1）知，
.
前面的“
”僅當時取等號.后面的“”僅當
時取等號，
不能同時取到，所以.
（3）在區間上，
，
所以
，
所以在區間上不可能有零點.
下面只考慮區間上和處的情況.
由題意的定義域為，
.
令
可得
（負值舍去）.
在
上
為增函數，
在
上
，為減函數，
所以
.
①當
時，
，所以
.
因為在區間上，
，且
，
所以此時存在唯一的零點.
②當
時，
.
因為
，所以
.
所以
.
于是
恒成立.
結合函數的性質，可知此時存在唯一的零點.
③當
時，
，所以在上遞增.
又因為
，
，
所以在區間上存在唯一的零點
.
結合函數的性質，可知是唯一的零點.
綜上所述：當
時，在上有唯一的零點；
當時，在上也有1個零點.
初中暑期銜接系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）＝f（x），當x∈[﹣3，﹣2]時，f（x）＝﹣x﹣2，則（ ）
A.
B.f（sin3）＜f（cos3）
C.
D.f（2020）＞f（2019）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若方程
所表示的曲線為C，給出下列四個命題：
①若C為橢圓，則1＜t＜4且t≠
；
②若C為雙曲線，則t＞4或t＜1；
③曲線C不可能是圓；
④若C表示橢圓，且長軸在x軸上，則1＜t＜
.
其中正確的命題是________(把所有正確命題的序號都填在橫線上)．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
，
。
（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；
（Ⅱ）如果對于任意的
都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高鐵、網購、移動支付和共享單車被譽為中國的“新四大發明”，彰顯出中國式創新的強勁活力.某移動支付公司從我市移動支付用戶中隨機抽取100名進行調查，得到如下數據：
每周移動支付次數 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 | 總計 |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 | 45 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 | 55 |
總計 | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 | 100 |
（1）把每周使用移動支付超過3次的用戶稱為“移動支付活躍用戶”，能否在犯錯誤概率不超過0.005的前提下，認為是否為“移動支付活躍用戶”與性別有關？
（2）把每周使用移動支付6次及6次以上的用戶稱為“移動支付達人”，視頻率為概率，在我市所有“移動支付達人”中，隨機抽取4名用戶.
①求抽取的4名用戶中，既有男“移動支付達人”又有女“移動支付達人”的概率；
②為了鼓勵男性用戶使用移動支付，對抽出的男“移動支付達人”每人獎勵300元，記獎勵總金額為X，求X的分布列及均值.
附公式及表如下：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系
中，曲線
:
（
，
為參數）.在以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
：
.
（1）說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標方程；
（2）若直線
的方程為
，設與的交點為
，
，與的交點為，
，若
的面積為
，求
的值.
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