Question

【題目】已知橢圓C：（）的長軸長是短軸長的2倍，左焦點為.

（1）求C的方程；

（2）設C的右頂點為A，不過C左、右頂點的直線l：與C相交于M，N兩點，且.請問：直線l是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標；如果不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）由焦點坐標、長軸長和短軸長關系、橢圓關系可構造方程組求得，進而得到所求方程；

（2）將直線方程與橢圓方程聯立，得到韋達定理的形式；根據垂直關系可得，代入韋達定理的結果可整理得到，進而解得，；分別驗證兩個結果可知滿足題意，根據直線過定點的求解方法可確定定點坐標.

（1）由題意得：，解得：

的方程為：

（2）設，

由得：

則，化簡得：…①

，

又

，即

又

即

化簡為：

解得：，，均滿足①式

當時，，直線過點，不合題意，舍去；

當時，，直線過定點

綜上可知，直線過定點，定點坐標為