Question

如圖，已知三角形△ABC與△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點P，Q分別在線段BD，CD上，沿直線PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合．
（Ⅰ）求證：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求BP的長；
（Ⅲ）求直線AP與平面ABC所成的角．

Answer 1

（I）見解析；（Ⅱ）1;（Ⅲ）45°

解析試題分析：（I）由面ABC⊥面BCQ又CQ⊥BC推出CQ⊥面ABC,再推出CQ⊥AB;（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥平面BCQ，連接OP，由沿直線PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合可知AP=DP即，解得BP=1;（Ⅲ）由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，所以∠APO是直線AP與平面BCD所成的角，，因此直線AP與平面BCD所成的角為45°.

試題解析：（I）證明：∵面ABC⊥面BCQ  又CQ⊥BC
∴CQ⊥面ABC
∴CQ⊥AB；
（Ⅱ）解：作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥平面BCQ，連接OP，
設AB=1，則BD=2，設BP=x，
由題意AP=DP，
∴，
∴x=1；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，
∴∠APO是直線AP與平面BCD所成的角，
∴∠APO=45°，
∴直線AP與平面BCD所成的角為45°．
考點：1.空間直線的位置關系的判定;2.空間兩點間的距離;3.線面角的求解