如圖1，直角梯形
中，
，
，
，點
為線段
上異于
的點，且
，沿
將面
折起，使平面
平面
，如圖2.
（1）求證：
平面
；
（2）當三棱錐
體積最大時，求平面
與平面所成的銳二面角的余弦值.
（1）證明過程詳見解析；（2）
.
解析試題分析：本題考查立體幾何中的線面、面面關系，空間角，空間向量在立體幾何中的應用等基礎知識；考查運算求解能力、空間想象能力；考查數形結合思想、化歸與轉化等數學思想．第一問，法一，由
，利用線面平行的判定得
面，再利用面面平行的判定得面
面，最后利用面面平行的性質得
面；法二，建立空間直角坐標系，要證明線面平行，只需證AB與面DFC的法向量垂直即可；第二問，建立空間直角坐標系，利用三棱錐的體積公式計算體積，當體積最大值時，AE=1，再利用向量法求平面ABC和平面AEFD的法向量，利用夾角公式求二面角的余弦值.
試題解析：（1）證明：∵
，
面，
面，
∴面， 2分
同理
面， 3分
又
，∴面面， 4分
又
面
，∴面. 5分
（2）法一：∵面面，又
，面
面
，
∴
面.
以
所在直線為
軸，
所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立
空間直角坐標系
， 7分
設
，則
，
，
∴當
時，三棱錐體積最大. 9分
∵
， ∴
， 10分
設平面
的法向量
， 
， ∴
，
令
，得平面
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知三角形△ABC與△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點P，Q分別在線段BD，CD上，沿直線PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合．
（Ⅰ）求證：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求BP的長；
（Ⅲ）求直線AP與平面ABC所成的角．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知一四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，且側棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是側棱PC上的動點
（1）求四棱錐P－ABCD的體積；
（2）證明：BD⊥AE。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為8，側棱長為6，D為AC中點。
（1）求證：直線AB1∥平面C1DB；
（2）求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值
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科目：高中數學 來源： 題型：填空題
理）如圖，正四面體
的頂點
，
，
分別在兩兩垂直的三條射線
，
，
上，則在下列命題中，正確命題的個數為_______.
（1）
是正三棱錐 ；
（2）直線
∥平面
；
（3）直線
與所成的角是
；
（4）二面角
為 .
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中，
平面
，
，
為
上的點，
平面
平面
；
平面
；
的體積。
的底面為菱形，
面
，且
，
,
分別是
的中點.
∥平面
；
作一平面交棱
于點
，若二面角
的大小為
，求
的值.
中,
，底面
為梯形，
，
，且
.（10分）
;
的余弦值.
的底面
是平行四邊形，
，
，
面
，設
為
中點，點
在線段
上且
．
平面
；
的大小為
，若
，求
的長．