Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形， ， ， ，點在線段上，且， ， 平面.

（1）求證：平面平面；

（2）當四棱錐的體積最大時，求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：⑴由條件推出四邊形是矩形，得到，再推出， 平面，即可推出平面平面

⑵要使四棱錐的體積取最大值，只需取得最大值，當且僅當時， 取得最大值36，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面與平面所成角的余弦值

解析：（1）由可得，

易得四邊形是矩形，∴，

又平面， 平面，∴，

又， 平面，∴平面，

又平面，∴平面平面

（2）四棱錐的體積為，

要使四棱錐的體積取最大值，只需取得最大值.

由條件可得，

∴，即，

當且僅當時， 取得最大值36.

分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

則， ， ， ，

， ， ，

設平面的一個法向量為，由， 可得

，令可得，

同理可得平面的一個法向量為，

設平面與平面所成二面角為，

.

由于平面與平面所成角為銳二面角，所以余弦值為.