Question

【題目】已知四棱錐，，在平行四邊形中，，Q為上的點，過的平面分別交，于點E、F，且平面.

（1）證明：；

（2）若，，Q為的中點，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）利用線面平行的性質可知，再后再根據條件證明平面，從而證明線線垂直；

（2）如圖，以O為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，利用兩個平面法向量求二面角的余弦值.

（1）證明：連結交于點O，連結.

∵在平行四邊形中，，

∴，且O為、的中點，

∵，∴，

∵，且平面，

∴平面，

∵平面，∴，

∵平面，且平面平面

∴，

∴

（2）由（1）可知平面，故平面平面

∵，且O為的中點，∴

又∵平面平面

∴平面，

∴與平面所成角為

∵與平面所成角的正弦值為，且，∴，

在中，，由勾股定理得：

如圖，以O為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，則：

，

∵Q為的中點，∴

則，

易知，平面的一個法向量為

設平面的法向量為，因為，則：

，即，

令，則：，，故可取平面的一個法向量為

∴

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為