Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若和在有相同的單調(diào)區(qū)間，求的取值范圍；

（Ⅱ）令（），若在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)．

（i）求的取值范圍；

（ii）設(shè)兩個極值點(diǎn)分別為， ，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）詳見解析

【解析】【試題分析】（1）借助題設(shè)條件，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析求解；（2）先依據(jù)題設(shè)條件將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識分析求解：

（Ⅰ）．函數(shù)的定義域為， ，

當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．　

若在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則．

（Ⅱ）（i）依題意，函數(shù)的定義域為， ，

所以方程在有兩個不同根．

即方程在有兩個不同根，

轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖象在有兩個不同交點(diǎn)，如圖．　

可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，

只需.

令切點(diǎn)，所以，又，所以，

解得，于是，所以.

（ii）由（i）可知， 分別是方程的兩個根，

即， ，不妨設(shè)，作差得，即，

原不等式等價于，即，即，

令，則， ，即，

設(shè)， ， ，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即不等式成立，

故所證不等式成立．