Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形是矩形，且平面平面.

（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）當二面角的平面角的余弦值為,求這個六面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由，，，可得，，由面面垂直的性質可得結果；（2）以為軸, 軸, 軸建立平面直角坐標系,設,利用向量垂直數量積為零列方程求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式，列方程可求得，由棱錐的體積公式可得結果.

（Ⅰ）在梯形中,∵,,

∴,

∴,∵.

∴,

∴,∴.

∵平面平面,平面平面,∴平面.

（Ⅱ）在中,,∴.

分別以為軸,軸,軸建立平面直角坐標系, 設,則,,,

,,則,,易知平面的一個法向量為,設

∵平面的法向量為,∴即令,則,,

∴平面的法向量為,∵二面角的平面角的余弦值為,

∴,解得,即.

所以六面體的體積為：

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