Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，焦距為2．（14分）
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）如圖，該直線l：y=k1x﹣ 交橢圓E于A，B兩點，C是橢圓E上的一點，直線OC的斜率為k2 ， 且看k1k2= ，M是線段OC延長線上一點，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半徑為|MC|，OS，OT是⊙M的兩條切線，切點分別為S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值時直線l的斜率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知， ，解得a= ，b=1．
∴橢圓E的方程為 ；
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
聯立 ，得 ．
由題意得△= ＞0．
， ．
∴|AB|= ．
由題意可知圓M的半徑r為
r= ．
由題意設知， ，∴ ．
因此直線OC的方程為 ．
聯立 ，得 ．
因此，|OC|= ．
由題意可知，sin = ．
而 = ．
令t= ，則t＞1， ∈（0，1），
因此， = ≥1．
當且僅當 ，即t=2時等式成立，此時 ．
∴ ，因此 ．
∴∠SOT的最大值為 ．
綜上所述：∠SOT的最大值為 ，取得最大值時直線l的斜率為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意得關于a，b，c的方程組，求解方程組得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯立直線方程與橢圓方程，利用根與系數的關系求得A，B的橫坐標的和與積，由弦長公式求得|AB|，由題意可知圓M的半徑r，則r= ．由題意設知 ．得到直線OC的方程，與橢圓方程聯立，求得C點坐標，可得|OC|，由題意可知，sin = ．轉化為關于k1的函數，換元后利用配方法求得∠SOT的最大值為 ，取得最大值時直線l的斜率為 ．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域和橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．