Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與拋物線C的交點為Q，且|QF|=2|PQ|，過F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點．
（1）求C的方程；
（2）設AB的垂直平分線l'與C相交于M，N兩點，試判斷A，M，B，N四點是否在同一個圓上？若在，求出l的方程；若不在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設Q（x0，4），代入y2=2px得x0= ，

∴|PQ|= ，|QF|= +x0= + ．

由題設得 + =2× ，解得p=﹣4（舍去）或p=4，

∴拋物線C的方程為y2=8x．

（2）解：由題設知，l與坐標軸不垂直，且過焦點F（2，0），

故可設l的方程為x=my+2（m≠0），

代入y2=8x得y2﹣8my﹣16=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=8m，y1y2=﹣16．

故AB的中點為D（4m2+2，4m），

|AB|= |y1﹣y2|= =8（m2+1）．

又l′⊥l，所以l′的斜率為﹣m，

所以l′的方程為x=﹣ y+4m2+6．

將上式代入y2=8x，并整理得y2+ y﹣8（4m2+6）=0，

設M（x3，y3），N（x4，y4），

則y3+y4=﹣ ，y3y4=﹣8（4m2+6）．

故MN的中點為E（ +4m2+6，﹣ ），

|MN|= |y3﹣y4|= = ，

由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|= |MN|，

又在Rt△ADE中，丨AD丨2+丨DE丨2=丨AE丨2，

從而 |AB|2+|DE|2= |MN|2，

即16（m2+1）2+（4m+ ）2+（ +4）2= ，

化簡得m2﹣1=0，m=±1，

所以當A，M，B，N四點在同一圓上時，l的方程為x=±y+2，即x±y﹣2=0．

【解析】（1）將Q（x0，4）代入拋物線方程，求得丨PQ丨，根據拋物線的定義，即可求得p的值，求得C的方程；（2）設l的方程為 x=my+1 （m≠0），代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、中點公式、弦長公式求得弦長|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、弦長公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|= |MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程．