Question

【題目】定義在上的函數，．

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數有且僅有一個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或

【解析】

（1）求導可得，再求得極值點，并分析與區間端點的大小關系，進而求得在區間上導函數的正負以及原函數的單調性即可；

（2）根據（1）所得的單調性，分析極值點的正負或等于是否滿足條件，再結合區間端點的正負，利用零點存在性定理求解即可.

.

（1）時，恒成立，令，得.

①當，即時，在上恒成立，

則在恒成立，在上單調遞增；

②當,即時,在上恒成立，

則在恒成立,在上單調遞減；

③當，即時，若，

即時,，單調遞減；

若，即時，,單調遞增.

綜上所述,當時，在上單調遞增；時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）①當時，在上單調遞增，而，此時無零點；

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

若函數在上有唯一零點，則有或.

,

解得.

，解得，故.

③當時，在上單調遞減，，在上存在唯一零點.

綜上可知，或.