Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2

2

，AA₁=2，三棱錐P-ABC中，P∈平面AB₁B₁B，且PA=PB=

3

．
（1）求證：PA∥平面A₁BC₁；
（2）求二面角P-AC-C₁的大小；
（3）求點P到平面BCC₁B₁的距離．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABA₁中，AB=2

2

，AA₁=2，可得cos∠ABA1=

2

3

，取BC中點H，根據題意得：在Rt△PAH中，PH=1，cos∠PAH=

2

3

，所以∠ABA₁=∠PAH進而根據角的關系得到平行關系．
（2）由題意可得：PH⊥平面ABC．過H作HE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，∠PEH為二面角P-AC-B的平面角，再結合解三角形的有關知識得到答案．
（3）由PH∥BB₁可得P點到平面BCC₁B₁的距離，就是H到平面BCC₁B₁的距離，再結合題中的條件求出答案．

解答：解：（1）證明：在Rt△ABA₁中，AB=2

2

，AA₁=2，
∴cos∠ABA1=

2

3

，取BC中點H，
∵PA=PB，
∴PH⊥AB，
在Rt△PAH中，PH=1，cos∠PAH=

2

3

，又∠ABA₁、∠PAH均為銳角，
∴∠ABA₁=∠PAH，---------------（2分）
∴PA∥A₁B，又PA在平面A₁BC₁外，
∴PA∥平面A₁BC₁．---------------（4分）
（2）∵平面PAB⊥平面ABC，PH⊥AB，
∴PH⊥平面ABC．
過H作HE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，∠PEH為二面角P-AC-B的平面角，------------------------（6分）
由題意可得：HE=

1

2

•(

3

2

•2

2

)=

6

2

，
∴tan∠PEH=

PH

HE

=

6

3

，
∴二面角P-AC-C₁的大小為

π

2

+arctan

6

3

．------------------------（9分）
（3）∵PH∥BB₁，
∴P點到平面BCC₁B₁的距離，就是H到平面BCC₁B₁的距離，-------------------------------（11分）
過H作HF⊥BC于F，則HF⊥平面BCC₁B₁，HF的長度即為所求，
由題意可得：HF=HE=

6

2

（或用等體積VP-B1BC=VC-B1BP求）----------------------------------（14分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，結合有關定理進行證明即可，以及熟練掌握求作二面角平面角的方法．