Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都為a，P為A₁B上的點(diǎn)．
（1）試確定

A1P

PB

的值，使得PC⊥AB；
（2）若

A1P

PB

=

2

3

，求二面角P-AC-B的大小；
（3）在（2）的條件下，求C₁到平面PAC的距離．

Answer 1

分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，直接根據(jù)PC⊥AB對應(yīng)的數(shù)量積為0即可求出點(diǎn)P的位置；
（2）先根據(jù)條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出兩個(gè)平面的法向量，代入向量的夾角計(jì)算公式即可求出結(jié)論；
（3）直接利用公式h=|

C1C

|•cos＜

n

，

C1C

＞計(jì)算即可．

解答：解：以A為原點(diǎn)，AB為X軸，過點(diǎn)A且與AB垂直的直線為Y軸，AA₁為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ；
則B（a，0，0），A₁（0，0，a）；C（

a

2

，

3

2

a，0），P（x，0，x）；
（1）由

CP

•

AB

=0⇒（x-

a

2

，-

3

2

a，z）•（a，0，0）=0，
即（x-

a

2

）•a=0，x=

a

2

，
所以：P為AB的中點(diǎn)；
即

A1P

PB

=1時(shí)，PC⊥AB；
（2）當(dāng)

A1P

PB

=

2

3

時(shí)，即

A 1P

=

2

3

PB

，
得（x，0，z-a）=

2

3

（a-x，0，-z）

3x=2a-2x 3(z-a)=-2z

⇒

x= 2 5 a z= 3 5 a

，
所以：P（

2a

5

，0，

3a

5

）．
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量

n

=（b，c，d）
則

n • AP =0 n • AC =0

⇒
即

(b，c，d)• ( 2a 5 ，0， 3a 5 )=0 (b，c，d)•( a 2 ， 3 a 2 ，0)=0

⇒

2a  5 •b+ 3a 5 •d=0 a 2 •b+ 3 a 2 •c=0

；
取b=3，則c=-

3

，d=-2．
∴

n

=（3，-

3

，-2），
又平面ABC的一個(gè)法向量

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

-2

4×1

=-

1

2

．
∴二面角P-AC-B的大小180°-120°=60°．
（3）設(shè)C₁到平面PAC的距離為h，
則h=|

C1C

|•cos＜

n

，

C1C

＞=

| n • C1C |

| n |

=

|(3，- 3 ，-2)•(0，0，-a)|

4

=

a

2

．
故C₁到平面PAC的距離為

a

2

．

點(diǎn)評：本題是對立體幾何知識(shí)的綜合考察，其中涉及到點(diǎn)到面的距離，二面角，線線垂直等知識(shí)，屬于綜合性很強(qiáng)的題目，要認(rèn)真分析．