Question

對于函數f（x）定義域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下結論：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）；②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
③（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0；④f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
當f（x）=2^-x時，上述結論中正確結論的序號是

 

寫出全部正確結論的序號）

Answer 1

分析：利用冪的運算法則判斷出①對；通過舉反例判斷出②錯；通過函數單調性的定義判斷出③對；通過基本不等式判斷出④對．

解答：解：例如f（x）=2^-x
∴對于①，f（x₁+x₂）=2-(x1+x2) ，f（x₁）f（x₂）=2-x1•2-x2=2-(x1+x2)，故①對
對于②，f（x₁•x₂）=2-(x1•x2)≠2-x1+2-x2=f（x₁）+f（x₂）；
故②錯
對于③，∵f(x)=2-x=(

1

2

)x為減函數，所以當x₁＞x₂時，有f（x₁）＜f（x₂），有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
對．
對于④，f(

x1+x2

2

)=

2-(x1+x2)

，

f(x1)+f(x2)

2

=

2-(x1+x2)

2

，有基本不等式，所以f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

故④對
故答案為①③④

點評：判斷多個命題的正誤時，需要對各個命題依次判斷．利用基本不等式求最值時，需要注意：一正、二定、三相等．