Question

（2009•連云港二模）已知函數f（x）定義在正整數集上，且對于任意的正整數x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=

4018

．

Answer 1

分析：把f（x+2）=2f（x+1）-f（x）轉化后，得到此函數值構成了一個等差數列，根據題意求出首項和公差，由等差數列的通項公式求出f（2009）的值．

解答：解：由題意知，對于任意的正整數x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），
故f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x），
則此函數的值構成了一個等差數列，首項f（1）=2，公差為

f(3)-f(1)

2

=2，
∴f（2009）=2+2008×2=4018．
故答案為：4018．

點評：本題考查了函數求值，此題通過關系式把函數值和等差數列聯系在一起，把函數求值轉化為數列問題，設計非常新穎，是個好題．