Question

已知函數f（x）定義在區間（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又數列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+ a 2 n

．
（I）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；
（II）求f（a_n）關于n的函數解析式；
（III）令g（n）=f（a_n）且數列{a_n}滿足b_n=

1

g(n)

，若對于任意n∈N⁺，都有b₁+b₂+…+bn＜t2-3t恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用賦值法，結合奇函數的定義，可得結論；
（II）利用遞推式，確定{f（a_n）}是首項為-1，公比為2的等比數列，即可求得f（a_n）關于n的函數解析式；
（III）求出數列的和，進而利用求最值的方法，解決恒成立問題．

解答：（I）證明：令x=y=0，可得f（0）=0
令x=0，則f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）
∵y∈（-1，1），∴f（x）在（-1，1）上為奇函數；
（II）解：由f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），將y換為-y，可得f（x）-f（-y）=f（

x+y

1+xy

），
∵f（-y）=-f（y），∴f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），
∴f（a_n+1）=f（

2an

1+ a 2 n

）=f（

an+an

1+ a 2 n

）=f（a_n）+f（a_n）=2f（a_n）
∴

f(an+1)

f(an)

=2
∵f（a₁）=f（

1

2

）=-1
∴{f（a_n）}是首項為-1，公比為2的等比數列
∴f（a_n）=-2^n-1；
（III）解：∵b_n=

1

g(n)

，∴b_n=-2^1-n，
∴b₁+b₂+…+b_n=-（1+

1

2

+…+

1

2n-1

）=

1

2n-1

-2
∵b₁+b₂+…+bn＜t2-3t恒成立，
∴

1

2n-1

-2＜t2-3t恒成立，
即t2-3t+2＞

1

2n-1

恒成立，
∵(

1

2n-1

)max=1
∴t²-3t+2＞1
∴t²-3t+1＞0
∴t＜

3- 5

2

或t＞

3+ 5

2

．

點評：本題函數的奇偶性，考查等比數列的證明，考查恒成立問題，正確確定函數的解析式是關鍵．