Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，點分別為的中點.

（1）求證：平面平面EFD；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）根據面面平行的判定定理，在面EFD內找兩條相交直線平行于平面，即可證出；（2）根據等積法，，先求出三角形DEF的面積，再求出，即可求出點到平面的距離。

（1）由題意知：點是的中點，且，

所以，所以四邊形是平行四邊形，則.

平面，平面，所以平面.

又因為分別為的中點，所以.

平面，平面，

所以平面.

，所以平面平面.

（2）中，，，，

所以，所以

因為平面平面，

平面平面

所以平面.

連，取的中點，連，易知，

平面且.

設點P到平面EFD的距離為d.

在Rt△中，

在Rt△中，

在Rt△中，

在Rt△中，

在△中，，

即，

解得，

所以

所以.

因為平面平面，

平面平面，平面，，所以，平面所以，的長即是點到平面的距離.

在Rt△中，，

所以，，

所以.

所以，

即，

即，解得.

所以，點到平面的距離為.