Question

【題目】如圖，圓錐的底面圓心為，直徑為， 為半圓弧的中點， 為劣弧的中點，且．

（1）求異面直線與所成的角的大小；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析: (1)方法一: 找出異面直線PC與OE所成的角, 三角形AOC為等腰直角三角形, E為劣弧BC的中點, 所以 ,所以OE∥AC,則 或其補角為異面直線PC與OE所成的角,再計算; 方法二: 建立空間直角坐標系,分別求出的坐標, 利用向量數量積求出的夾角,再得到異面直線PC與OE所成的角; (2)方法一: 由(1)中的建系,求出平面APC的法向量,易得平面ACE的法向量為(0,0,1),用夾角公式,求出平面APC與平面ACE的夾角, 方法二: 取AC的中點為D,作出二面角的平面角,求出.

試題解析: （1）證明：方法（1）∵是圓錐的高，∴⊥底面圓，

根據中點條件可以證明∥，

或其補角是異面直線與所成的角；

所以

異面直線與所成的角是

方法(2)如圖,建立空間直角坐標系,

,

,, ,

設與夾角,

異面直線與所成的角

（2）、方法（1）、設平面的法向量

，

平面的法向量

設兩平面的夾角,則

所以二面角的大小是 ．

方法（2）、

取中點為，連接，又圓錐母線，∴

∵底面圓上∴

又為劣弧的中點，即有∈底面圓

∴二面角的平面角即為

∵為半圓弧的中點，∴又直徑

∴

∵底面圓且底面圓O，∴

又∴△中，

∴ 所以二面角的大小是