Question

【題目】已知函數有兩個極值點，其中為常數， 為自然對數的底數.

（1）求實數的取值范圍；

（2）證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）函數有兩個極值點，等價于有兩個變號零點，變量分離，構造函數，討論其單調性，結合函數簡圖可得其范圍.

（2）先構造函數為和0比較大小 ，再利用在區間上的單調性比較大小.

試題解析：（1）函數的定義域為， .

因為函數有兩個極值點，所以有兩個變號零點，故關于的方程有兩個不同的解，

令，則，

當時，當時， ，

所以函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

又當時， ；當時， ，且，

結合函數簡圖可知， ，所以.

（2）不妨設，由（1）可知， ，所以，

因為函數在區間上單調遞增，則

所以當即時， 即.

又，所以可化為，

即即，

令，則，

令，則，

當時， ，所以在區間上單調遞增，則，

所以在區間上單調遞增， .證畢.

點晴:本題考查的是用導數研究函數的極值問題和極值點偏移問題.函數的極值點即導數方程的變號零點，函數有兩個極值點可轉化為導數方程有兩個不等根的問題，求導研究函數的圖象增減即可.極值點偏移即解決兩個問題，在一部分區間上構造函數和0比，在另外一區間上利用函數的單調性，比較大小即可.