Question

【題目】設圓的圓心為，直線過點且不與軸、軸垂直，且與圓于， 兩點，過作的平行線交直線于點.

（1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，直線交于兩點，過且與垂直的直線與圓交于兩點，求與的面積之和的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】試題分析：（1）先證明，可得， ，進而得，由雙曲線定義知軌跡是雙曲線，從而可得方程；（2）聯立直線與雙曲線的方程，消去得，根據弦長公式、點到直線距離公式及三角形面積公式可得三角形面積之和成關于 的函數，利用單調心求解即可.

試題解析：（1）

圓，圓心，半徑，如圖所示.

因為，所以.又因為，所以，

所以，

又因為，所以，

故，可得，

根據雙曲線的定義，可知點的軌跡是以為焦點的雙曲線（頂點除外），

易得點的軌跡方程為.

（2）.

依題意可設，

由于，設.

圓心到直線的距離，

所以，

又因為，解得.

聯立直線與雙曲線的方程，消去得，

則，

所以，

記的面積分別為，

則，

又因為，所以，

所以的取值范圍為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用單調性法法求三角形三角形面積之和的最值的.