Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若過點恰有兩條直線與曲線相切，求的值；

（Ⅱ）用表示中的最小值，設函數，若恰有三個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，利用導數求得 的過點的切線方程，構造輔助函數，利用導數與函數單調性的關系，分類討論即可得a的值;

（Ⅱ）根據函數的定義求，根據函數的單調性及零點的判斷，采用分類討論法，求得函數零點的個數，即可求得恰有三個零點，求實數的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，

設切點為，則該點處的切線方程為，

又∵切線過點，∴，

整理得， ，（*）

依題設，方程（*）恰有兩個不同的解，

令，則，

解得，

①當時， 恒成立， 單調遞增，至多只有一個零點，不合題設；

②當時，則為的極值點，若恰有兩個不同的解，

則或，又∵，

，∴或.

令，則，

解得，∴在上單調遞增，在上單調遞減，

又∵， ∴當且時， 無解. ∴.

（Ⅱ）∵，

∴當時，解得.

由（Ⅰ）知， ，

當時， ；當或時， ，

∴在上單調遞增，在上單調遞減.

∴當時， ，當時， .

∵， ∴，

∴當時， ， 在上單調遞減，

∵，∴.

∴當時， ，當時， ，

此時恰有三個零點.

當時， ，解得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴，當時， ，此時不合題意；

當時， 恰有一個零點，此時符合題意；

當時， ， ，

又∵，當時， .

∴在上有兩個零點，此時在上有4個零點，不合題設.

綜上， 的取值范圍是.

點晴:本題考查函數導數與單調性.確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可結合導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理. 恒成立問題以及可轉化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉化為求函數最值處理．也可構造新函數然后利用導數來求解.注意利用數形結合的數學思想方法.