Question

【題目】已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍；

（2）設兩個極值點分別為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）函數在其定義域內有兩個不同的極值點等價于方程在有兩個不同根，即函數與函數的圖象在上有兩個不同交點，討論函數單調性和極值根據圖象即可求的取值范圍；（2）作差得，，即.原不等式等價于，，則，只需證明不等式成立即可.

試題解析：（1）依題意，函數的定義域為，所以方程在有兩個不同根.

即，方程在有兩個不同根.

轉化為，函數與函數的圖象在上有兩個不同交點.

又，即時，，時，，

所以在上單調增，在上單調減，從而.

又有且只有一個零點是1，且在時，，在時，，

所以的草圖如下，

可見，要想函數與函數的圖象在上有兩個不同交點，只需.

（2）由（1）可知分別是方程的兩個根，即，，

設，作差得，，即.

原不等式等價于

令，則，，

設，，，

∴函數在上單調遞增，

∴，

即不等式成立，

故所證不等式成立.