Question

(本小題滿分12分)
已知三棱柱中，各棱長均為2，平面⊥平　　　　　　　　　　　面，．

（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的大小；

Answer 1

（1）略（2）

(I)證明：取A₁C₁的中點M，連CM、B₁M
∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁,∴各棱長均相等,∠A₁AC＝60°
∴△A₁CC₁與△A₁B₁C₁都是等邊三角形
∴
∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，　
∴平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁C₁C
∴B₁M⊥平面AA₁C₁C，由三垂線定理得：B₁C⊥A₁C₁
又∵四邊形BCC₁B₁是菱形，∴B₁C⊥BC₁　　
而

∴B₁C⊥平面A₁BC₁
（II）法一：連AB₁與A₁B交于G點，設B₁C與BC₁交于H點，連GH，則GH

取AC的中點N，連BN，A₁N，可證AC⊥A₁B　∴GH⊥A₁B
又∵四邊形AA₁B₁B是菱形　　∴AB₁⊥A₁B
∴∠B₁GH就是所求二面角的平面角；
法二：由(I)知，平面，
又四邊形是菱形，所以，由三垂線定理的逆定理得，，所以就是二面角B₁－A₁B－C₁的平面角
由（1）知A₁C₁⊥B₁C　　∴GH⊥B₁C
設A₁C₁＝a，則
∴即所求二面角的大小為