Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx+ax+b在（1，f（1））處的切線為2x﹣2y﹣1=0．
（1）求f（x）的單調區間與最小值；
（2）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=1+lnx+a，

故f'（1）=1+a=1，得a=0，又2﹣2f（1）﹣1=0，

所以 ，得 ．

則 ，f'（x）=1+lnx，

當 時，f'（x）≤0，f（x）單調遞減；

當 時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，

所以 ．

（2）證明：令g（x）=x﹣sinx，x＞0，g'（x）=1﹣cosx≥0，g（x）遞增，

所以g（x）＞g（0）=0，所以當x＞0時，x＞sinx，

令h（x）=ex﹣x﹣1，x＞0，h'（x）=ex﹣1≥0，h（x）遞增，

h（x）＞h（0）=0，所以當x＞0時，ex＞x+1，

要證 ，由﹣1≤cosx≤1，x＞sinx，及ex＞x+1，

得， ，故原不等式成立，

只需證 ，

即證x2﹣x+1+xlnx＞0．由（1）可得 ，且 ，

所以 ，則原不等式成立

【解析】（1）求出函數的導數，計算f′（1），f（1）求出a，b的值，求出函數的解析式，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間和最值即可；（2）令g（x）=x﹣sinx，x＞0，得到當x＞0時，x＞sinx，令h（x）=ex﹣x﹣1，x＞0，根據函數的單調性將問題轉化為只需證 ，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．