Question

【題目】若曲線和上分別存在點

和點，使得是以原點為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在軸上則

范圍是( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】分析：設A（x1，y1），B（x2，y2），根據OA⊥OB可得=0，從而得出a關于x1+1的函數，求出此函數的值域即可得出a的范圍．

詳解：設A（x1，y1），B（x2，y2），則x2=﹣x1，

∴y1=f（x1）=，y2=g（﹣x1）=x12（x1+1）2．

∴=（x1，y1），=（﹣x1，y2），

∵OA⊥OB，∴=0，

即﹣x12+=0，

∴=1，即a=．

∵﹣1＜x1＜e﹣1，∴＜x1+1＜e．

令h（x）=（＜x＜e），則h′（x）=，

∴當＜x＜時，h′（x）＜0，當＜x＜e時，h′（x）＞0，

∴h（x）在（，）上單調遞減，在[，e）上單調遞增，

∴h（x）的最小值為h（）=2e，

又h（）=4，h（e）=e2，

∴h（x）的值域為[2e，e2），即a的范圍為[2e，e2）．

故答案為：A．