Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，異面直線和所成角等于.

（1）求直線和平面所成角的正弦值；

（2）在棱上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為？若存在，指出點在棱上的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在這樣的點，為棱上靠近的三等分點.

【解析】分析：（1）以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量法能求出直線和平面所成角的正弦值.

（2）先假設(shè)棱上存在一點，求出平面與平面的法向量，進(jìn)而求得二面角的余弦值，結(jié)合其正切值為，求出E點的位置.

詳解：解：（1）如圖，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

易知是等腰直角三角形，∴.

設(shè)，則，，，，.

則，，

∵異面直線和所成角等于，

∴，即，解得，

∵，.

設(shè)平面的一個法向量為，

則由，得，所以可取，

∴.

∴直線和平面所成角的正弦值為.

（2）假設(shè)存在，設(shè)，且，則，

，設(shè)平面的一個法向量為，

則由，得，

取，又有平面的法向量，

由平面與平面所成銳二面角的正切值為，可知余弦值為，

由，得，

解得或（不合題意）.

∴存在這樣的點，為棱上靠近的三等分點.